2021研究生入学考试考研数学试卷（数学一）
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共5
0分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
1. 在处
（A）连续且取得极大值 （B）连续且取得极小值
（C）可导且导数为零 （D）可导且导数不为零
2. 设函数可微，且，，则
（A） （B） （C） （D）
3. 设函数在处的3次泰勒多项式为，则
（A） （B）
（C） （D）
4. 设函数在区间上连续，则
（A） （B）
（C） （D）
5. 二次型的正惯性指数和负惯性指数依次为
（A） 2,0 （B）1,1 （C）2,1 （D）1,2
6. 已知记若两两正交，则依次为
（A） （B） （C） （D）
7. 设为阶实矩阵，下列不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
8. 设为随机事件，且，下列为假命题的是
（A）若,则
（B）若,则
（C）若,则
（D）若,则
9. 设为来自总体的简单随机样本，令,则
（A）是的无偏差估计，
（B）不是的无偏差估计，
（C）是的无偏差估计，
（D）不是的无偏差估计，
10. 设是来自总体简单随机样本，考虑假设检验问题：表示标准正太分布函数，若该检验问题的拒绝域为,其中，则，该检验犯第二类错误的概率为
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸指定位置上．
11.
12. 设函数由参数方程确定，则
13. 欧拉方程满足条件的解为
14. 设为空间区域表面的外侧，则曲面积分
15. 设为3阶矩阵，为代数余子式，若的每行元素之和均为2，且，则
16. 甲、乙两个盒子中有2个红球和2个白球，选取甲盒中任意一球，观察颜色后放入乙盒，再从乙盒中任取一球，令分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球的个数，则与的相关系数为
三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上．
17. （本题满分10分）
求极限
18. （本题满分12分）
设，求级数的收敛域及和函数.
19. （本题满分12分）
已知曲线求上的点到坐标面距离的最大值.
20. （本题满分12分）
设是有界单连通区域，取得最大值的积分区域记为
(1) 求的值.
(2) 计算，其中是的正向边界
21. 设矩阵
（1） 求正交矩阵,使为对角矩阵
（2） 求正定矩阵,使,为3阶单位矩阵.
22. 在区间上随机取一点,将该区间分成两段,较短一段的长度记为,较长一段的长度记为.令.
(1) 求的概率密度;(2)求的概率密度;(3)求.
2021考研数学试卷答案速查（数学一）
一、选择题
（1）（D） （2）（C） （3）（A） （4）（B） （5）（B）
（6）（A） （7）（C） （8）（D） （9）（C） （10）（B）
二、填空题
（11） （12） （13）
（14） （15） （16）
三、解答题
（17）原式（2分）
（4分）
（7分）
（9分）
（10分）
（18）
（1） 设，，则
收敛区间为，收敛区间为（3分）
时，，级数发散
时，，级数收敛
所以级数的收敛域为.（4分）
（2）（6分）
则
，因为，所以
，因为，所以（9分）
因此时，
当时，和函数连续，所以
所以，（12分）
（19） 根据题意，目标函数为，约束条件是以及（2分）
设
（6分）
解得或者（10分）
，
因此距离的最大值为（12分）
（20）
（1）根据题意，易知
（4分）
（2）
补充曲线（顺时针方向）
由高斯公式可知，
其中为和围成的封闭区域.（8分）
根据高斯公式
其中是围成的封闭区域.
所以（12分）
（21）
（1）
令，解得（2分）
，解得
，解得（4分）
将进行施密特正交化可得（6分）
将单位化，可得
可得正交矩阵，使（8分）
(2)因为可知，
因为为正定矩阵，所以
（12分）
（22）
易知,且在上服从均匀分布;
（Ⅰ）的概率密度. (4分)
（Ⅱ）的分布函数:
时,;时, ;
的概率密度为. (8分)